三点确定一个圆的计算方法

最近在写的一个软件需要根据三个坐标点来计算一个圆。因此花了点时间推导了相关的公式。这个推导不算太难，放在这里主要是做个备忘。

我们设一个圆的圆心坐标为 (x0,y)，半径为 r。那么这个圆的方程可以写为：

(x−x0)2+(y−y0)2=r2

在这个圆上随便取三个点，设这三个点的坐标分别是 (x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)。那么有：

⎧⎩⎨⎪⎪(x1−x0)2+(y1−y0)2=r2(x2−x0)2+(y2−y0)2=r2(x3−x0)2+(y3−y0)2=r2(1)(2)(3)

公式（1）（2）相减，（1）（3）相减之后经过化简可以得到：

(x1−x2)x0+(y1−y2)y0=(x21−x22)−(y22−y21)2(x1−x3)x0+(y1−y3)y0=(x21−x23)−(y23−y21)2

x0,y0有唯一解的条件是系数行列式不为 0：

∣∣∣(x1−x2)(x1−x3)(y1−y2)(y1−y3)∣∣∣≠0

简单变变型也就是：

x1−x2y1−y2≠x1−x3y1−y3

这样写几何含义就很明显了，三点不能共线。

设:

a=x1−x2b=y1−y2c=x1−x3d=y1−y3e=(x21−x22)−(y22−y21)2f=(x21−x23)−(y23−y21)2

那么 :

x0=−de−bfbc−ady0=−af−cebc−ad

有了 x0 和 y0 的值后，带入(1) 式就可以得到 r的值。至此，三点确定圆的问题就解决了。

下面是个 C++ 代码（用到了Qt 的 QPointF 类型）：

#include

#include

#include

#include

QPointF tcircle(QPointF pt1, QPointF pt2, QPointF pt3, double &radius)

{

double x1 = pt1.x(), x2 = pt2.x(), x3 = pt3.x();

double y1 = pt1.y(), y2 = pt2.y(), y3 = pt3.y();

double a = x1 - x2;

double b = y1 - y2;

double c = x1 - x3;

double d = y1 - y3;

double e = ((x1 * x1 - x2 * x2) + (y1 * y1 - y2 * y2)) / 2.0;

double f = ((x1 * x1 - x3 * x3) + (y1 * y1 - y3 * y3)) / 2.0;

double det = b * c - a * d;

if( fabs(det) < 1e-5)

{

radius = -1;

return QPointF(0,0);

}

double x0 = -(d * e - b * f) / det;

double y0 = -(a * f - c * e) / det;

radius = hypot(x1 - x0, y1 - y0);

return QPointF(x0, y0);

}

用 {1, 1}, {1, 2}, {3, 4} 这三个点测试了一下。结果没有问题。